Sorry für den Doppelpost.
Man kann das Problem recht Effizient lösen. Als LSG der Maxwellgleichungen hat man bekanntermaßen in der Magnetostatik (alles in cgs Einheiten)
$$\vec{B}(\vec{r}) = \nabla \times \vec{A}$$
und
$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c} \int \mathrm{d}^3 r' \frac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$$
Wendet man die erste auf die Zweite Gleichung an erhält man das Biot Savoir Gesetz und kann das Feld in jedem Punkt durch Integration berechnen. Die Aufwendige Operation ist allerdings die Integration die man somit für jeden Punkt ausführen muss. Je mehr Punkte desto aufwendiger also. Die Funktion $\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ lässt sich in Kugel Koordinaten in Kugelflächenfunktionen entwickeln.
$$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} =4\pi \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \frac{1}{2l+1} \frac{\min(r,r')^l}{\max(r,r')^{l+1}} Y^*_{lm}(\theta',\phi') Y_{lm}(\theta,\phi)$$
Kugelflächenfunktionen sind Komplexe Funktionen welche die natürlichen Eigenfunktionen vieler partieller Differentialgleichungen sind(Maxwell, Schrödinger,...). Wie diese genau aussehen ist hier eigentlich relativ egal. Hiermit lässt sich die Integration schreiben als
$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c} \sum_{l=0}^\infty \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\phi) \int \mathrm{d}^3 r' \vec{j}(\vec{r}') \frac{\min(r,r')^l}{\max(r,r')^{l+1}} Y^*_{lm}(\theta',\phi')$$
Ist die Stromdichteverteilung lokalisiert d.h. $ \exists R_\mathrm{out} >0\forall |r|>R_{\mathrm{out}}: \vec{j}(\vec{r}) = 0$ lässt sich das Vektorpotential für punkte außerhalb der Stromdichteverteilung schreiben als:
$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c} \sum_{l=0}^\infty \frac{4\pi}{2l+1}\frac{1}{r^{l+1}} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\phi) \int \mathrm{d}^3 r' \vec{j}(\vec{r}') r'^l Y^*_{lm}(\theta',\phi')$$
Das Integral wird somit unabhängig von dem Punk an dem das Feld ausgewertet wird. Anstatt für jeden Punkt eine Integration auszuführen kann man nun Koeffizienten in $l$ und $m$ Berechnen und das Feld durch einfache Reihenentwicklung in diesen Koeffizienten auswerten. Eine gute Approximation ergibt sich häufig schon für niedrige Koeffizienten beispielsweise $l= 3$ dies würde das lösen von 16 Integralen zum Berechnen des gerammten äußeren Feldes Benötigen. Das Integral $\int \mathrm{d}^3 r' \vec{j}(\vec{r}') r'^l Y^*_{lm}(\theta',\phi') := \mu_{lm}^{\mathrm{out}}$ heißt auch Multipolmoment in der Literatur. Genauer bezeichne ich es hier als äußeres Multipolmoment.
Gibt es im Inneren der Stromdichtverteilung einen Bereich ohne Stromfluss d.h. $ \exists R_\mathrm{in}>0 \forall |r|<R_{\mathrm{in}}: \vec{j}(\vec{r}) = 0$ so lässt sich ein inneres Multipolmoment definieren
$$\int \mathrm{d}^3 r' \vec{j}(\vec{r}') \frac{1}{r'^{l+1}} Y^*_{lm}(\theta',\phi') := \mu_{lm}^{\mathrm{in}}$$
Hiermit kann man das Vektorpotential im Inneren schreiben als
$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c} \sum_{l=0}^\infty \frac{4\pi}{2l+1}r^l \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\phi) \mu_{lm}^{\mathrm{in}}$$
Um das Feld von Punkten auszuwerten die auf der Kugelschale zwischen $R_{\mathrm{in}}$ und $R_{\mathrm{out}}$ liegen wird es etwas komplizierter. Hierzu muss man das Integral an der Stelle in zwei Teile teilen wo $r = r'$. Hierzu betrachtet man das Allgemeine Problem als
$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c} \sum_{l=0}^\infty \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\phi) \int_0^\pi \mathrm{d}\theta'\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi' \int_0^\infty\mathrm{d} r' \vec{j}(\vec{r}') \frac{\min(r,r')^l}{\max(r,r')^{l+1}} Y^*_{lm}(\theta',\phi') r'^2 \sin(\theta')$$
Es folgt:
$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c} \sum_{l=0}^\infty \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\phi) \left[\frac{1}{r^{l+1}}\int_0^r \mathrm{d} r'\int_0^\pi \mathrm{d}\theta'\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi' \vec{j}(\vec{r}') Y^*_{lm}(\theta',\phi') r'^{2+l} \sin(\theta') + r^l\int_r^\infty \mathrm{d} r'\int_0^\pi \mathrm{d}\theta'\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi' \vec{j}(\vec{r}') Y^*_{lm}(\theta',\phi') \frac{1}{r'^{l-1}} \sin(\theta')\right]$$
$$\vec{A}(\vec{r}) := \frac{1}{c} \sum_{l=0}^\infty \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\phi) \left[\frac{1}{r^{l+1}} \vec{\mu}_{lm,r}^\mathrm{out} + r^l\vec{\mu}_{lm,r}^\mathrm{in}\right]$$
Nachteilig ist dass die Multipolkoeffizienten nun abhängig von $r$ sind. Wählt man jedoch die Auswertungspunkte geschickt auf Kugeln um den Ursprung lässt sich so Rechenleistung spaaren.
Praktisch anwenden lässt sich das so nicht weil die meisten Stromdichteverteilungen keine Funktionen sind sondern als Distributionen geschrieben werden. Distributionen lassen sich allerdings nicht trivialerweise numerisch Integrieren. Mir sind jedoch als Problemstellung in der Elektrodynamik nur Delta Distributionen begegnet. Beispielsweise fließt der Strom auf einem dünnen Draht oder einer dünnen Fläche. Abhilfe schafft hier das Problem durch einen ein oder zweidimensionalen Parameter $\gamma$ bzw. $\gamma_1, \gamma_2$ zu Parametrisieren. Die Parametrisierung muss man dabei zu jedem Problem spezifisch angeben.
Im Eindimensionalen Fall muss man die Kurve auf der der Strom fließt $\vec{r}(\gamma)$ ,die Betragsmäßige Änderung der Kurve $\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}(\gamma)}{d\gamma}\right|$ sowie die Stromdichte $\vec{j}(\gamma)$ spezifizieren. Die Multipolmomente lassen sich dann mittels:
$$ \mu_{lm}^{\mathrm{out}} = \int \mathrm{d}\gamma \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}(\gamma)}{d\gamma}\right|\vec{j}(\gamma) r(\gamma)^{l+2} Y^*_{lm}(\theta(\gamma),\phi(\gamma)) \sin(\theta(\gamma))$$
$$ \mu_{lm}^{\mathrm{in}} = \int \mathrm{d}\gamma\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}(\gamma)}{d\gamma}\right| \vec{j}(\gamma) \frac{1}{r(\gamma)^{l-1}} Y^*_{lm}(\theta(\gamma),\phi(\gamma)) \sin(\theta(\gamma))$$
$$ \mu_{lm,r}^{\mathrm{out}} = \sum_{\gamma_{\mathrm{min}},\gamma_{\mathrm{max}}}\int_{\gamma_{\mathrm{min}}}^{\gamma_{\mathrm{max}}} \mathrm{d}\gamma \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}(\gamma)}{d\gamma}\right|\vec{j}(\gamma) r(\gamma)^{l+2} Y^*_{lm}(\theta(\gamma),\phi(\gamma)) \sin(\theta(\gamma))$$
$$ \mu_{lm,r}^{\mathrm{in}} = \sum_{\gamma_{\mathrm{min}},\gamma_{\mathrm{max}}}\int_{\gamma_{\mathrm{min}}}^{\gamma_{\mathrm{max}}} \mathrm{d}\gamma\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}(\gamma)}{d\gamma}\right| \vec{j}(\gamma) \frac{1}{r(\gamma)^{l-1}} Y^*_{lm}(\theta(\gamma),\phi(\gamma)) \sin(\theta(\gamma))$$
Wobei die $r$ abhängigen Koeffizienten so integriert werden dass in allen integrationsabschnitten die jeweilige Bedingung für $r(\gamma)$ erfüllt ist. Der 2D Fall funktioniert analog sprengt hier jedoch etwas den Rahmen. Ich hoffe dass klar ist dass man auf diese Art und Weise das Problem effizienter lösen kann.
@Paul: Auf jeden Fall ein super tolles Projekt vor allem die GUI beeindruckt mich.
lg ferrum
)? Immer her damit!
d.h. kann man eigentlich vergessen. Hatte mal en lustigen bug, dass 'ne Queue in Py2.7 irgendwie ein speicherleck hatte (vllt war ich damals auch zu doof die richtig zu benutzen) hat mich auf jeden fall fast in den wahnsinn getrieben 
)