Der Tesla Mathe Thread

[ferrum]

So hier ein Thread den ich schon lange aufmachen wollte. Soll als Sammlung von Mathematischen Zusammenhängen an Teslaspulen dienen, soetwas fehlt hier irgendwie noch. Das ganze soll eher als Formelsammlung dienen, aber wenn man hier was hineinschreibt sollte es nicht ganz unbegründet sein. Hätte deswegen vorgeschlagen Beweise und Herleitungen als Spoiler zu setzten sonst wird es langweilig und unpraktisch.

Warum das ganze? Ich hab persönlich irgendwie das Gefühl bei den ganzen Rechentools die Herumgeistern dass ich das Wie, wie diese Tools funktionieren nicht ganz verstanden habe. Dagegen hilft nur selber Nachrechnen. Außerdem ist man möglichen Fehlern dieser Tools ziemlich ausgeliefert und wenn man etwas Berechnen möchte was über die Funktion dieser Tools hinausgeht hat man ohne ein gutes Verständnis der Mathematik auch wenig Chancen. Manchmal ist es auch einfach Nützlicher einen Analytischen Zusammenhang vor Augen zu haben als Blind mit den Eingaben in einen Rechner Herumzuspielen.

Ich bin mir nicht ganz sicher ob es für die Nützlichkeit dieses Threads nicht nützlich wäre Diskussionen/Kommentare in einem Separaten Thread zu haben aber das müssen die Mods wissen.(Selbige Überlegung gilt mmn. auch für den DRSSTC FAQ Thread)
Ich fange auch gleich mal an:

Eigenresonanzfrequenzen des Idealen Resonanzübertragers
Ein Idealer Resonanzübertrager besteht aus je einem Idealen Primären und Sekundären Schwingkreis deren Spulen durch die Teilweise gegenseitige Magnetische Durchflutung gekoppelt sind. Im Mechanischen Sinn handelt es sich um gekoppelte Pendel.

Die Schwingkreise bestehen jeweils aus den Spulen $L_{11}$ (Primär) und $L_{22}$ (Sekundär) sowie den Kapazitäten $C_1$ (Primär) und $C_2$ (Sekundär)

Die Eigenresonanzfrequenzen der nicht gekoppelten Schwingkreise betragen:

$$\omega_{\mathrm{P}} = \frac{1}{\sqrt{L_{11}C_1}}$$
$$\omega_{\mathrm{S}} = \frac{1}{\sqrt{L_{22}C_2}}$$

Wenn Schwingkreise mit der Kopplungskonstante $k$ gekoppelt sind existieren zwei Resonanzpole:

$$\omega_{\pm}^2 = \frac{\omega_\mathrm{P}^2 + \omega_\mathrm{S}^2 \pm \sqrt{(\omega_\mathrm{P}^2 - \omega_\mathrm{S}^2)^2 + 4 k^2 \omega_\mathrm{P}^2 \omega_\mathrm{S}^2}}{2(1-k^2)}$$

Für identische Resonanzfrequenzen(Regelfall bei Teslas) der ungekoppelten Kreise $\omega_{\mathrm{P}} = \omega_{\mathrm{S}} = \omega_{\mathrm{RES}}$ gilt

$$\omega_{\pm}^2 = \omega_{\mathrm{RES}}^2 \frac{1 \pm k}{1-k^2}$$

Spoiler:

Herleitung:
Für Induktivitäten gilt das Induktionsgesetz:
$$U = - L \partial_t I$$
Es liefert somit die Spannung die an der Induktivität bei der Änderung des Stroms an ihr anliegt.
Das Induktionsgesetz gilt auch für Transformatoren. Die Spannung an einer der Beiden Spulen setzt sich hier jedoch aus der Induktion in der Selbstinduktivität $L_{11}$ bzw. $L_{22}$ und der Gegeninduktivität $L_k$ durch die jeweiligen Ströme $I_1$ und $I_2$ zusammen. Es gilt somit:
$$-U_1 = L_{11} \partial_t I_1 + L_k \partial_t I_2$$
$$-U_2 = L_k \partial_t I_1 + L_{22} \partial_t I_2$$

Die Spannung über den Kondensatoren ist anhand ihrer Ladung durch das Stromintegral Definiert
$$U_1 = \frac{1}{C_1} \int_0^t \mathrm{d}t I_1$$
$$U_2 = \frac{1}{C_2} \int_0^t \mathrm{d}t I_2$$

Aufgrund der Maschenregel muss die Gesamtspannung in beiden Kreisen verschwinden. Man erhält folgendes Lineares homogens Differentialgleichungssystem 2ter Ordnung:
$$L_{11} \partial_t^2 I_1 + L_k \partial_t^2 I_2 - \frac{I_1}{C_1} = 0$$
$$L_{k} \partial_t^2 I_1 + L_{22} \partial_t^2 I_2 - \frac{I_2}{C_2} = 0$$

Hiervon ist der Ansatz $I_1(t) = \sin(\omega t) I_1$ und $I_2(t) = \sin(\omega t) I_2$ eine Lösung. Durch Einsetzten erhält man:

$$ (\omega^2 L_{11} + \frac{1}{C_1}) I_1 + \omega^2 L_k I_2 = 0$$
$$ \omega^2 L_k I_1 + (\omega^2 L_{22} + \frac{1}{C_2}) I_2 = 0$$

Durch definieren von $k:= \frac{L_k}{\sqrt{L_{11}L_{22}}}$ und Lösen des Obigen Gleichungssystems nach $\omega$ und $I_1/I_2$ erhält man obige Lösung.

[ferrum]

Weiter gehts ich werde nur die Herleitungen in Handschriftlicher Form hochladen weil das weniger Aufwand ist.
Eigenrichtungen des Idealen Resonanzübertragers
Im vorherigen Beitrag ging es um die Eigenfrequenzen auf denen die Schaltung schwingt wenn man sie Anstößt und frei schwingen lässt, bei jeder der Beiden Eigenresonazfrequenzen sind die Amplituden des Primär- $I_1$ und Sekundärstromes $I_2$ gekoppelt. Das Verhältnis beider Amplituden zueinander beträgt:
$$\frac{I_1}{I_2} = -\sqrt{\frac{L_{22}}{L_{11}}}\frac{\omega_\pm^2 - \omega_\mathrm{S}^2}{k\omega_\pm^2} = -\sqrt{\frac{L_{22}}{L_{11}}} \frac{1}{k} \left(1 - \frac{2\omega_\mathrm{S}^2 (1-k^2)}{\omega_\mathrm{S}^2 + \omega_\mathrm{P}^2 \pm \sqrt{(\omega_\mathrm{S}^2 - \omega_\mathrm{P}^2)^2 + 4k^2 \omega_\mathrm{S}^2\omega_\mathrm{P}^2}}\right)$$
Definiert man das Abstimmverhältnis $\alpha = \frac{\omega_\mathrm{P}}{\omega_\mathrm{S}}$
$$\frac{I_1}{I_2} = -\sqrt{\frac{L_{22}}{L_{11}}} \frac{1}{k} \left(1 - \frac{2(1-k^2)}{1 + \alpha^2 \pm \sqrt{(1 - \alpha^2)^2 + 4k^2\alpha^2}}\right)$$
Für $\omega_\mathrm{S} = \omega_\mathrm{P} = \omega_\mathrm{RES} $ gilt:
$$\frac{I_1}{I_2} = \mp \sqrt{\frac{L_{22}}{L_{11}}}$$
Bemerkung: Bedenkt man dass $N \propto \sqrt{L}$ für die meisten Spulen gilt entspricht diese Gleichung für Abgestimmte fälle genau dem Transformatorgesetz. Außerdem erkennt man dass wie beim gekoppelten Pendel die eine Eigenmode Gleichphasig ist wohingegen die andere Gegenphasig ist.

Spoiler:

Herleitung wie Versprochen als Bilder

Resonanzkurve des getriebenen Idealen Resonanzübertragers
Regt man nun den Primärkreis mit einer Spannung $U(t)$ bzw. in der Fourirtransformierten $U(\omega)$ an Ergeben sich neben den frei schwingenden Lösungen auch Schwingungen bei anderen Frequenzen (Inhomogene Lösung). Hierbei ist die Amplitude von Primär und Sekundärstrom von der Amplitude der Anregung $U$ abhängig, die Lösung divergiert Naturgemäß bei den Eigenresonanzfrequenzen. Der Zusammenhang lautet:
$$I_1 = \frac{i U}{L_{11}} \frac{\omega (\omega^2 - \omega_\mathrm{S}^2)}{(\omega^2 - \omega_\mathrm{S}^2)(\omega^2 - \omega_\mathrm{P}^2) - \omega^4k^2}$$
$$I_2 = \frac{-i U}{L_{k}} \frac{\omega^3}{(\omega^2 - \omega_\mathrm{S}^2)(\omega^2 - \omega_\mathrm{P}^2) - \omega^4k^2}$$
Analog zu dem Vorherigen vorgehen ist der Abgestimmte Fall auch hier wieder Einfacher.
$$I_1 = \frac{i U}{L_{11}} \frac{\omega (\omega^2 - \omega_\mathrm{RES}^2)}{(\omega^2 - \omega_\mathrm{RES}^2)^2 - \omega^4k^2}$$
$$I_2 = \frac{-i U}{L_{k}} \frac{\omega^3}{(\omega^2 - \omega_\mathrm{RES}^2) - \omega^4k^2}$$

Spoiler:

[7ower3efender]

Moin

Also deinen ersten Thread kann ich ganz gut Nachvollziehen aber was hat es mit dem Abstimmverhältnis zwischen Primär- und Sekundärspule zu tun?